РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 300 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: V

Разные задачи

Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной $6 корень из 2$ и углом BAD, равным $арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$ Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол $60 градусов.$ Найдите радиус R сферы, проходящей через точки A, B, C и середину ребра SB. В ответ запишите значение выражения R².

Решение. По теореме косинусов имеем: $BD=$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на косинус левая круглая скобка арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на 6 корень из 2 умножить на 6 корень из 2 конец аргумента =6.$ К тому же $BM=MS= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BS=BD=6.$

AC пересекает BD в точке O, точка M  — середина BS, тогда по теореме косинусов:

$AC= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на 6 корень из 2 умножить на 6 корень из 2 конец аргумента =6 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$ $AC= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на 6 корень из 2 умножить на 6 корень из 2 конец аргумента =$
$=6 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$ $AC=$
$= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 6 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на 6 корень из 2 умножить на 6 корень из 2 конец аргумента =$
$=6 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Найдем радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Заметим, что $синус ABC= корень из: начало аргумента: 1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

По теореме синусов: $2R_ABC= дробь: числитель: AC, знаменатель: синус ABC конец дроби равносильно R_ABC=12.$

Продлим BD до точки P, BP  =   $24.$

Радиус окружности, описанной около треугольника BMP  — искомый. Тогда по теореме косинусов:

$MP= корень из: начало аргумента: BM в квадрате плюс BP в квадрате минус 2 косинус B конец аргумента умножить на BM умножить на BP=$
$= корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс 24 в квадрате минус 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 конец аргумента умножить на 24=6 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$ $MP= корень из: начало аргумента: BM в квадрате плюс BP в квадрате минус 2 косинус B конец аргумента умножить на BM умножить на BP=$
$= корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс 24 в квадрате минус 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 конец аргумента умножить на 24=$
$=6 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$ $MP=$
$= корень из: начало аргумента: BM в квадрате плюс BP в квадрате минус 2 косинус B конец аргумента умножить на BM умножить на BP=$
$= корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс 24 в квадрате минус 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 конец аргумента умножить на 24=$
$=6 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$

По теореме синусов имеем: $2R= дробь: числитель: MP, знаменатель: синус B конец дроби равносильно R=6 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента .$ Таким образом, $R в квадрате =156.$

Ответ: 156.

Ответ: 156

300

156

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: V

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	300	156